MAT01 Mathematische Grundlagen

Man ermittle Lage und Typ der relativen Extrema der Funktion \(k(t)=12-12t+t^3\).

Problem einordnen

In dieser Aufgabe sollen wir für die Funktion \(k(t)=12-12t+t^3\) (i) Lage und (ii) Typ der relativen Extrema bestimmen:

(i) An welcher Stelle, das heisst für welchen Kandidat t, hat diese Funktion ein Extremum/Extrema? Damit haben wir die Lage.

(ii) Ist/Sind diese(s) Extremum/Extrema ein rel. Maximum oder ein rel. Minimum dieser Funktion? Damit bekommen wir den Typ des Extremums/der Extrema.

Sie brauchen folgende Kenntnisse, um diese Aufgabe lösen zu können:

• (i) Berechnung der Kandidaten einer beliebigen Funktion für ein Extremum: Tietze Kapitel 6.2.2, Satz 6.2.22
• (ii) Überprüfung der zweiten Ableitung zur Bestimmung des Typs des Extremum: Tietze Kapitel 6.2.2, Satz 6.2.27

Formaler Lösungsweg

(i) Berechnung der Kandidaten für ein rel. Extremum der Funktion \(k(t)\)

Um die Kandidaten für ein rel. Maximum oder Minimum der Funktion \(k(t)\) zu bekommen, wird die erste Ableitung der Funktion \(k(t)\) berechnet und gleich null gesetzt (Grund: Bei einem Maximum oder Minimum hat die Funktion eine waagrechte Tangente. Das heisst, die Steigung der Tangente ist Null): \(k'(t)=-12+3t^2=0 \quad \Rightarrow \quad 3t^2=12 \quad \Rightarrow \quad t^2=4\)

\( \Rightarrow \quad {t_1}=+2\) und \({t_2}=-2\)

Offenbar gibt es zwei Stellen \({t_1}=+2\) und \({t_2}=-2\), bei welchem die Funktion \(k(t)=12-12t+t^3\) ein rel. Maximum oder ein rel. Minimum haben kann. Als nächstes überprüfen wir also separat für die Kandidaten \({t_1}=+2\) und \({t_2}=-2\), was der Typ des Extremums ist.

(ii) Überprüfung der zweiten Ableitung zur Bestimmung des Typs des Extremum

Die Funktion \(k(t)\) hat ein Maximum bei einem Kandidaten, wenn die zweite Ableitung evaliert für diesen Kandidaten negativ ist. (In diesem Fall ist nämlich \(k(t)\) konkav, das heisst, die Funktion \(k(t)\) macht an dieser Stelle eine Rechtskurve)

Die Funktion \(k(t)\) hat ein Minimum bei einem Kandidaten, wenn die zweite Ableitung evaliert für diesen Kandidaten negativ ist. (In diesem Fall ist nämlich \(k(t)\) konvex, das heisst, die Funktion \(k(t)\) macht an dieser Stelle eine Linkskurve)

Die zweite Ableitung von \(k(t)\) ist: \(k''(t)=6t\)

Die zweite Ableitung evaluiert für den Kandidaten \({t_1}=+2\) ist \(k''({t_1})=k''(2)=6 \cdot 2=12>0\). Die zweite Ableitung nimmt also einen positiven Wert (+12) an. (Bemerkung: Der absolute Wert 12 ist hierbei nicht wichtig, es ist nur wichtig, dass \(12 > 0\) ist.) Wir folgern daraus, dass die Funktion \(k(t)\) an der Stelle \({t_1}=+2\) konvex ist und daher die Funktion \(k(t)\) an dieser Stelle ein relatives Minimum hat.

Die zweite Ableitung evaluiert für den Kandidaten \({t_2}=-2\) ist \(k''({t_2})=k''(-2)=6 \cdot (-2)=-12 < 0 \). Die zweite Ableitung nimmt also einen negativen Wert (-12) an. (Bemerkung: Der absolute Wert -12 ist hierbei nicht wichtig, es ist nur wichtig, dass \(-12 < 0\) ist.) Wir folgern daraus, dass die Funktion \(k(t)\) an der Stelle \({t_2}=-2\) konkav ist und daher die Funktion \(k(t)\) an dieser Stelle ein relatives Minimum hat.

Wir wissen nun, ohne die Funktion \(k(t)\) skizziert zu haben, mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung von \(k(t)\), an welchen Stellen die Funktion \(k(t)\) ein rel. Maximum resp. Minimum hat. Zum Schluss können wir das Resultat überprüfen, indem wir die Funktion \(k(t)\) skizzieren und überprüfen, ob die Funktion tatsächlich bei den Kandidaten ein rel. Extremum aufweist. Die Grafik finden Sie hier.

Wie wir gesehen haben, mussten wir über die erste Ableitung von k gehen, also indem wir \(k'(t)=0\) setzten, um die Kandidaten für ein Extremum zu finden. Die zweite Ableitung von k diente zur Überprüfung des Typs des Extremum. Die zweite Ableitung \(k''(t) < 0\) bei einem Maximum, die zweite Ableitung \(k''(t) > 0\) bei einem Minimum. Der grafische Zusammenhang zwischen der Funktion k, k' und k'' finden sie hier.

\(k'(t)=-12+3t^2=0 \quad \Rightarrow \quad {t_1}=+2 \quad {t_2}=-2\)

\(k''(t)=6t\)

\(k''({t_1})=k''(2)=6 \cdot 2=12 > 0 \quad \Rightarrow \quad \) Die Funktion \(k(t)\) hat an der Stelle \({t_1}=+2\) ein relatives Minimum.

\(k''({t_2})=k''(-2)=6 \cdot (-2)=-12 < 0 \quad \Rightarrow \quad \) Die Funktion \(k(t)\) hat an der Stelle \({t_2}=-2\) ein relatives Maximum.